20/06/2017

Repliement spectral

Le théorème de l'échantillonnage, attribué à Claude Shannon en 1949, établit que pour obtenir un échantillonnage correct d'un signal analogique \(x(t)\), la fréquence d'échantillonnage \(f_e\) doit être strictement supérieure à deux fois la fréquence maximale \(f_\text{max}\) du signal analogique. Cette condition assure que le signal analogique reconstruit \(\hat{x}(t)\) à partir du signal échantillonné est exactement identique au signal original \(x(t)\). Dans le cas contraire, il se produit un repliement spectral : le signal reconstruit \(\hat{x}(t)\) est différent du signal original \(x(t)\).

L'animation ci-dessous illustre ce phénomène. Le graphique de gauche représente une sinusoïde de fréquence 1 comme étant le signal original \(x(t)\) (en gris), le signal échantillonné (points bleus) et le signal analogique reconstruit \(\hat{x}(t)\) (en rouge). Le graphique de droite représente avec les mêmes couleurs les spectres des signaux. La zone blanche sur le graphique de droite correspond à la bande de fréquence \([-f_e/2,f_e/2]\). Le curseur permet de modifier la période d'échantillonnage \(T_e\).

Tant que la période d'échantillonnage \(T_e\) est suffisamment petite (donc la fréquence d'échantillonnage \(f_e\) est suffisamment grande), il n'y a pas de repliement spectral et le signal reconstruit \(\hat{x}(t)\) (en rouge) est identique au signal originale \(x(t)\) (en gris). Pour une période d'échantillonnage \(T_e\) supérieure à 1 (donc \(f_e < 1\)), le signal reconstruit \(\hat{x}(t)\) est de fréquence plus faible que le signal original \(x(t)\). On note également que passé la fréquence limite \(f_\text{max}/2\), il se produit également un changement de phase.